Objetivos

Operadores conjuntistas

Unión: $T \leftarrow R \cup S$

$$I(T) = I(R) \\ E(T) = E(R) \cup E(S)$$

Diferencia: $T \leftarrow R \setminus S$

$$I(T) = I(R) \\ E(T) = E(R) \setminus E(S)$$

Operadores conjuntistas

Intersección: $T \leftarrow R \cap S$

$$I(T) = I(R) \\ E(T) = E(R) \cap E(S)$$

Producto cartesiano: $T \leftarrow R \times S$

$$I(T) = I(R) \cup I(S) \\ E(T) = \{(r,s) \mid r \in E(R) \land s \in E(S)\}$$

R y S tienen que ser compatibles para $\cup$, $\cap$ y $\setminus$

Operadores relacionales: selección

Selección (sigma) $T \leftarrow \sigma_f(R)$

$$I(T) = I(R) \\ E(T) = \{ r \in E(R) \mid f(R) \}$$

$f$ es una expresión lógica bien formada sobre los atributos de $I(R)$

Selecciona las filas de $R$ que cumplen $f$

Ejemplo: Pedidos

Dos relaciones 0..* con composición

Clase asociación

Ejemplo: Pedidos

-- Intensión
Usuarios = { usuarioId, nombre, dirección, teléfono, provincia }
    PK(usuarioId)
    AK(nombre)
Productos = { productoId, descripción, precio}
    PK(productoId)
Pedidos = {pedidoId, usuarioId, productoId, cantidad}
    PK(pedidoId)
    FK(usuarioId) / Usuarios
    FK(productoId) / Productos

-- Extensión
Usuarios = {
    ('U1', 'David', 'Calle Mayor 15, Sevilla',       '954 223 456', 'Sevilla'),
    ('U2', 'Marta', 'Avenida Andalucía 42, Málaga',  '952 334 567', 'Málaga'),
    ('U3', 'Pedro', 'Paseo de Gracia 78, Barcelona', '933 445 678', 'Barcelona'), ...
}
Productos = {
    ('P1', 'Xiaomi mi band 4',            36),
    ('P2', 'Motorola One',               399),
    ('P3', 'Correa compatible mi band 4', 10), ...
}
Pedidos = {
    ('P1', 'U1', 'P1', 2), -- David compra 2 mi band 4
    ('P2', 'U1', 'P3', 2), -- David compra 2 correas compatibles
    ('P3', 'U2', 'P2', 1), -- Marta compra 1 Motorola One
    ...
}

Ejemplo: Selección

Renombrado

$$\Ren_{U(uid,n,di,t,pro)} (Usuarios) \\ \Ren_{P(pid,de,pre)} (Productos) \\ \Ren_{Ped(id,uid, pid, c)} (Pedidos)$$

Operadores relacionales: proyección

Proyección (Pi): $T \leftarrow \Pi_B(R)$

Prerequisito: $B \subseteq I(R)$

$$I(T) = B \\ E(T) = \{ (r.a_1, r.a_2, \ldots, r.a_k) \mid (r \in E(R) \land \{a_1, a_2, \ldots, a_k\} = B) \}$$

Extrae columnas B de R

Ejemplo: Proyección

Nombre de los usuarios que son de Málaga o Sevilla

Opción 1: una única expresión

$$Opcion1 \leftarrow \Proj_{U.n}(\Sel_{prov='Sevilla' \lor prov='Málaga'}(U))$$

Opción 2: con relaciones intermedias

$$S \leftarrow \Sel_{prov='Sevilla'}(U) \\ M \leftarrow \Sel_{prov='Málaga'}(U) \\ SM \leftarrow S \cup M \\ Opción2 \leftarrow \Proj_{U.n} (SM)$$

Operadores relacionales: combinación

Combinación (join): $T \leftarrow R \bowtie S$

Prerequisito: $I(R) \cap I(S) = C \neq \emptyset$

$$I(T) = I(R) \cup I(S) \\ E(T) = \{ r \cup s \mid(r \in E(R) \land s \in E(S) \land \forall c \in C \models (r.c=s.c)) \}$$

Producto cartesiano de $R$ y $S$ donde los valores de las claves primarias de $R$ coinciden con los de $S$

Operadores relacionales: combinación

Se usa para combinar datos de relaciones que están enlazadas mediante claves ajenas.

La combinación crea una nueva relación que no está normalizada

Operador derivado que usa proyección, selección y producto cartesiano:

• $\{c_i\} = I(R) \cap I(S)$ (atributos comunes de R y S, suelen ser PK/FK)
• $\{u_j\} = I(R) \cup I(S)$ (todos los atributos, sin repeticiones)

$$\Proj_{u_j}\left(\Sel_{R.c_i = S.c_i}(R \times S)\right)$$

Ejemplo: Combinación

Nombre de los usuarios, descripción y cantidad de los productos que ha pedido

$$\Proj_{U.n, P.de, Ped.c} (U \Join Ped \Join P)$$

Nombre de los usuarios que no han realizado ningún pedido

$$Nombres \leftarrow \Proj_{U.n}(U) \\ NombresConPedido \leftarrow \Proj_{U.n}(U \Join Ped) \\ Resultado \leftarrow Nombres \setminus NombresConPedido s$$

Operadores relacionales: división

División: $T \leftarrow R \div S$

Prerequisito: $I(S) \subset I(R)$

$$I(T) = I(R) \setminus I(S) \\ E(T) = \{t \mid (\forall s \in E(S) \models (t,s) \in E(R))\}$$

Sean R(r,s) y S(s) dos relaciones, la división devuelve los valores de r tales que para todo valor de s existe una tupla (r,s) en R.

Ejemplos: división

Nombre de los usuarios que han comprado todos los productos

$$ProductoIds \leftarrow \Proj_{pid} (P) \\ NombreProdId \leftarrow \Proj_{U.n, P.pid}(U \Join Ped \Join P) \\ Resultado \leftarrow NombreProdId \div ProductoIds$$

Conclusiones

El álgebra relacional es un lenguaje formal y procedimental para consultar bases de datos relacionales.

Sus operaciones toman relaciones como entrada y producen nuevas relaciones como resultado.

Los operadores conjuntistas permiten combinar relaciones compatibles mediante unión, intersección y diferencia.

Los operadores selección y proyección permiten reducir la información a las filas y columnas relevantes.

El producto cartesiano sirve de base para construir operaciones más complejas.

La combinación o join es la operación clave para relacionar datos conectados mediante PK/FK.

Conclusiones

La división permite expresar consultas del tipo “para todos”, menos frecuentes pero muy útiles en ciertos problemas.

El renombrado facilita escribir expresiones más claras y reutilizar relaciones intermedias en consultas complejas.

La agrupación y las funciones de agregación como SUM, COUNT, AVG, MIN y MAX permiten resumir y analizar datos.

El álgebra relacional ayuda a entender cómo se expresan y se optimizan internamente muchas consultas en SQL.

Dominar estos operadores es fundamental para consultar, razonar sobre consultas y diseñar modelos relacionales de calidad.